Question

20．某厂生产的某种产品包括一等品和二等品，如果生产出一件一等品，可获利200元，如果生产出一件二等品则损失100元，已知该厂生产该种产品的过程中，二等品率p与日产量x的函数关系是：p=$\frac{3x}{4x+32}$（x∈N^*），问该厂的日产量为多少件时，可获得最大盈利，并求出最大日盈利额．（二等品率p为日产二等品数与日产量的比值）

Answer 1

分析 设日盈利额为y元，每天生产x件产品时，二等品数，一等品数，求出函数关系式，利用导数求解函数的单调性．求解函数的最大值即可．

解答 解：设日盈利额为y元，每天生产x件产品时，二等品数为$xp=\frac{{3{x^2}}}{4x+32}$，
一等品数为$x（1-p）=x（1-\frac{3x}{4x+32}）$=$\frac{{{x^2}+32x}}{4x+32}$．…（2分）
所以$y=\frac{{200（{x^2}+32x）}}{4x+32}-\frac{{100•3{x^2}}}{4x+32}$=$\frac{{25（64x-{x^2}）}}{x+8}$．…（6分）
下面考虑其在（0，+∞）上的单调性．
求导，得$y'=-\frac{25（x+32）（x-16）}{{{{（x+8）}^2}}}$．
当x∈（0，16）时，y'＞0；当x∈（16，+∞）时，y'＜0．
所以$y=\frac{{25（64x-{x^2}）}}{x+8}$在（0，16）内为增函数，在（16，+∞）内为减函数．…（10分）
所以当x=16时，y最大，且y_max=800元．
即该厂的日产量为16件时，可获得最大盈利，最大盈利为800元． …（12分）

点评 本题考查函数的实际应用，函数的解析式的求法，导数在最值中的应用，考查转化思想以及计算能力．