Question

5．已知一个正倒立的圆锥容器中装有一定的水，现放入一个小球后，水面恰好淹过小球（水面与小球相切），且圆锥的轴截面是等边三角形，则容器中水的体积与小球的体积之比为5：4．

Answer 1

分析 由题意求出球的体积，求出圆锥的体积，设出水的高度，求出水的圆锥的体积，利用V_水+V_球=V_容器，求出圆锥内水平面高．即可得出结论．

解答 解：如图．在容器内注入水，并放入一个半径为r的铁球，这时水面记为AB，
将球从圆锥内取出后，这时水面记为EF．
三角形PAB为轴截面，是正三角形，
三角形PEF也是正三角形，圆O是正三角形PAB的内切圆．
由题意可知，DO=CO=r，AO=2r=OP，AC=$\sqrt{3}$r
∴V_球=$\frac{4}{3}π{r}^{3}$，V_PC=$\frac{1}{3}π•3{r}^{2}•3r$=3πr³
又设HP=h，则EH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$h
∴V_水=$\frac{1}{3}π•\frac{1}{3}{h}^{2}•h$=$\frac{π}{9}{h}^{3}$
∵V_水+V_球=V_PC
即 $\frac{π}{9}{h}^{3}$+$\frac{4}{3}π{r}^{3}$=3πr³，
∴h³=15r³，
容器中水的体积与小球的体积之比为$\frac{π}{9}{h}^{3}$：$\frac{4}{3}π{r}^{3}$=5：4．
故答案为5：4．

点评 本小题主要考查球的体积和表面积、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）等基础知识，考查运算求解能力，考查转化思想．属于基础题．