Question

16．设函数f（x）=|x-1|+|x-a|．
（1）当a=3时，求不等式f（x）≥5的解集；
（2）若f（x）≥2对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用a=3，化简不等式，通过分类讨论取得绝对值求解即可．
（2）利用函数恒成立，转化求解即可．

解答 解：（1）当a=3时，不等式f（x）≥5，即|x-1|+|x-3|≥5，
①当x≥3时，不等式即x-1+x-3≥5，解得$x≥\frac{9}{2}$；
②当1＜x＜3时，不等式即x-1+3-x≥5，x无解；
③当x≤1时，不等式即1-x+3-x≥，解得$x≤-\frac{1}{2}$．
综上，不等式f（x）≥5的解集为$（-∞，-\frac{1}{2}]∪[\frac{9}{2}，+∞）$．
（2）∵f（x）=|x-1|+|x-a|≥|（x-1）-（x-a）|=|a-1|，
∴f（x）_min=|a-1|．
∵f（x）≥2对任意x∈R恒成立，
∴|a-1|≥2，解得a≤-1或a≥3，
即实数a的取值范围为（-∞，-1]∪[3，+∞）．

点评 本题考查函数恒成立绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．