Question

7．圆O：x²+y²=4内有一点P（-1，1）．
（1）当弦AB被点P平分时，求出直线AB的方程；
（2）直线l₁和l₂为圆O的两条动切线，且l₁⊥l₂，垂足为Q．求P，Q中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）当弦AB被点P平分时，AB⊥OP，进而得到得答案；
（2）直线l₁和l₂为圆O的两条动切线，且l₁⊥l₂，且OAQB为正方形，进而得到P，Q中点M的轨迹方程．

解答 解：（1）当弦AB被点P平分时有AB⊥OP-----------------------------------（2分）
又∵直线OP的斜率k=-1，
∴直线AB的斜率为1，
∴直线AB的方程x-y+2=0．-----------------------（4分）
（2）设切线l₁和l₂与圆的切点分别是A，B，则四边形OAQB为正方形．---------------（6分）
∴|OQ|=2$\sqrt{2}$．-----------------------------------------------------------（7分）
∴点Q 的轨迹是以O为圆心，半径为2$\sqrt{2}$的圆．-------------------------------（8分）
∴点Q的轨迹方程为x²+y²=8，
设点M（x，y），Q（x₀，y₀），则由点M为PQ的中点得$\left\{\begin{array}{l}{x}_{0}=2x+1\\{y}_{0}=2y-1\end{array}\right.$--------------（10分）
又x₀²+y₀²=8
∴中点M的轨迹方程为（2x+1）²+（2y-1）²=8------（12分）

点评 本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，轨迹方程，难度中档．