Question

19．（I）已知$cos（π+α）=-\frac{1}{2}$，α为第一象限角，求$cos（\frac{π}{2}+α）$的值；
（II）已知$cos（\frac{π}{6}-β）=\frac{1}{3}$，求$cos（\frac{5π}{6}+β）•sin（\frac{2π}{3}-β）$的值．

Answer 1

分析 （I）利用诱导公式和α的取值范围进行解答即可；
（II）利用诱导公式对所求的代数式进行变形得到：$cos（\frac{5π}{6}+β）•sin（\frac{2π}{3}-β）$=-$cos（\frac{π}{6}-β）$•$cos（\frac{π}{6}-β）$．

解答 解：（I）∵$cos（π+α）=-\frac{1}{2}$，
cosα=$\frac{1}{2}$，
又α为第一象限角，
则$cos（\frac{π}{2}+α）$=-sinα=-$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=-$\sqrt{1-（\frac{1}{2}）^{2}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（II）∵$cos（\frac{π}{6}-β）=\frac{1}{3}$，
∴$cos（\frac{5π}{6}+β）•sin（\frac{2π}{3}-β）$=cos[π-（$\frac{π}{6}$-β）]sin[$\frac{π}{2}$+（$\frac{π}{6}$-β）]=-$cos（\frac{π}{6}-β）$•$cos（\frac{π}{6}-β）$=-$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$=-$\frac{1}{9}$．

点评 本题考查了三角函数的化简求值，诱导公式的应用，考查计算能力，属于中档题．