Question

9．已知f（x）=x²e^x（e为自然对数的底），若存在唯一的x₀∈[-1，1]，使得f（x₀）=m在m∈[t-2，t]上恒成立，则实数t的取值范围是（　　）

• A． [1，e]
• B． （1+$\frac{1}{e}$，e]
• C． （2，e]
• D． （2+$\frac{1}{e}$，e]

Answer 1

分析 根据导数求出函数的最值，再根据存在唯一的x₀∈[-1，1]，使得f（x₀）=m在m∈[t-2，t]上恒成立，得到$\frac{1}{e}$＜f（x₀）≤e，即$\frac{1}{e}$＜m≤e，得到关于t的不等式组，解得即可．

解答 解：函数f（x）=x²e^x的导数为f′（x）=2xe^x+x²e^x =xe^x（x+2），x∈[-1，1]，
令f′（x）=0，则x=0，
当f′（x）＞0时，即0＜x≤1，当f′（x）＜0时，即-1≤x＜0，
∴f（x）在（-1，0）单调递减，在（0，1]上单调递增，
∴f（x）_min=f（0）=0，f（-1）=$\frac{1}{e}$，f（1）=e，
∴f（x）_max=f（1）=e，
∵存在唯一的x₀∈[-1，1]，使得f（x₀）=m在m∈[t-2，t]上恒成立，
∴$\frac{1}{e}$＜f（x₀）≤e，
∴$\frac{1}{e}$＜m≤e，
∵m∈[t-2，t]上恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{t-2＞\frac{1}{e}}\\{t≤e}\end{array}\right.$，
解得2+$\frac{1}{e}$＜t≤e，
故选：D

点评 本题考查了导数函数的最值问题，以及参数的取值范围，考查了存在性和恒成立的问题，属于中档题．