Question

4．某家电专卖店试销A，B，C三种新型空调，销售情况记录如表：

	第一周	第二周	第三周	第四周	第五周
A型数量（台）	10	10	15	A4	A5
B型数量（台）	10	12	13	B4	B5
C型数量（台）	15	8	12	C4	C5

（Ⅰ）为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从该家电专卖店前三周售出的所有空调中随机抽取一台，求抽到的空调“是B型空调或是第一周售出空调”的概率；
（Ⅱ）为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从该家电专卖店第二周和第三周售出的空调中分别随机抽取一台，求抽取的两台空调中A型空调台数X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （I）方法1：从前三周售出的所有空调中随机抽取一台，有105种可能，其中“是B型或是第一周售出空调”有35+35-10=60，直接利用古典概型求解概率即可．
方法2：设抽到的空调“不是B型也不是第一周售出空调”的事件是M，抽到的空调“是B型或是第一周售出空调”的事件是N，求解概率即可．
（Ⅱ）依题意，随机变量X的可能取值为0，1，2求出概率，得到分布列然后求解期望即可．

解答 解：（I）方法1：从前三周售出的所有空调中随机抽取一台，有105种可能，其中“是B型或是第一周售出空调”有35+35-10=60．…（2分）
因此抽到的空调“是B型或是第一周售出空调”的概率是$P=\frac{60}{105}=\frac{4}{7}$．
…（4分）
方法2：设抽到的空调“不是B型也不是第一周售出空调”的事件是M，抽到的空调“是B型或是第一周售出空调”的事件是N，则$P（M）=\frac{10+15+8+12}{35+30+40}=\frac{3}{7}$，$P（N）=1-\frac{3}{7}=\frac{4}{7}$．…（2分）
故抽到的空调“是B型或是第一周售出空调”的概率是$\frac{4}{7}$．…（4分）
（Ⅱ）依题意，随机变量X的可能取值为0，1，2，…（6分）$P（X=0）=\frac{20}{30}•\frac{25}{40}=\frac{5}{12}$，$P（X=1）=\frac{10}{30}•\frac{25}{40}+\frac{20}{30}•\frac{15}{40}=\frac{11}{24}$，$P（X=2）=\frac{10}{30}•\frac{15}{40}=\frac{1}{8}$．…（8分）
X的分布列为

X	0	1	2
P	$\frac{5}{12}$	$\frac{11}{24}$	$\frac{1}{8}$

E（X）=$0×\frac{5}{12}+1×\frac{11}{24}+2×\frac{1}{8}$=$\frac{17}{24}$．…（12分）

点评 本题考查离散性随机变量的分布列以及期望的求法，古典概型的求法，考查计算能力．