Question

19．已知△ABC中，AB=4，AC=2，|λ$\overrightarrow{AB}$+（2-2λ）$\overrightarrow{AC}$|（λ∈R）的最小值为2$\sqrt{3}$，若P为边AB上任意一点，则$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$的最小值是-$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 根据向量的数量积公式和向量的模的计算得到f（λ）=4$\sqrt{（2-2cosA）{λ}^{2}+（2cosA-2）λ+1}$，对cosA=0和cosA≠0，两种情况加以讨论，根据二次函数的性质求出最值．

解答 解：由题意可知：丨$\overrightarrow{AB}$丨=4，丨$\overrightarrow{AC}$丨=2，
|λ$\overrightarrow{AB}$+（2-2λ）$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{[λ\overrightarrow{AB}+（2-2λ）\overrightarrow{AC}]^{2}}$=$\sqrt{{λ}^{2}丨\overrightarrow{AB}{丨}^{2}+2λ（2-2λ）\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+（2-2λ）^{2}丨\overrightarrow{AC}{丨}^{2}}$，
=$\sqrt{16{λ}^{2}+4（2-2λ）^{2}+2λ（2-2λ）×2×4cosA}$，
=4$\sqrt{（2-2cosA）{λ}^{2}+（2cosA-2）λ+1}$，
=f（λ），
当cosA=0时，f（λ）=4$\sqrt{2{λ}^{2}-2λ+1}$=4$\sqrt{2（λ-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{2}}$≥2$\sqrt{2}$，
由2$\sqrt{3}$＞2$\sqrt{2}$，
∴A=$\frac{π}{2}$，
则建立直角坐标系，A（0，0），B（4，0），C（0，2），
设P（x，0），（0＜x＜4），
$\overrightarrow{PB}$=（4-x，0），$\overrightarrow{PC}$=（-x，2），
∴$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$=-x（4-x）=x²-4x=（x-2）²-4，
∴当x=2时，$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$取最小值，最小值为：-4，
当cosA≠0时，f（λ）=4$\sqrt{（2-2cosA）（λ-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1+cosA}{2}}$≥4$\sqrt{\frac{1+cosA}{2}}$=2$\sqrt{3}$，
整理得：1+cosA=$\frac{3}{2}$，解得：cosA=$\frac{1}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$，
∴建立直角坐标系，A（0，0），B（4，0），C（1，$\sqrt{3}$），
设P（x，0），（0＜x＜4），
$\overrightarrow{PB}$=（4-x，0），$\overrightarrow{PC}$=（1-x，$\sqrt{3}$），
则$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$=（4-x）•（1-x）=x²-5x+4=（x-$\frac{5}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，
当x=$\frac{5}{2}$时，$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$取最小值，最小值为：-$\frac{9}{4}$，
故$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$的最小值-$\frac{9}{4}$，
故答案为：-$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了向量的数量积公式和向量的模的计算以及二次函数的性质，关键时分类讨论，考查了学生的运算能力，转化能力，属于难题．