Question

20．设f（x）=$\frac{{e}^{x}}{1+a{x}^{2}}$，其中a为正实数，若f（x）为R上的单调递增函数，则a的取值范围是（0，1]．

Answer 1

分析 求出函数的导数，问题转化为ax²-2ax+1≥0在R上恒成立，根据二次函数的性质求出a的范围即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{e}^{x}}{1+{ax}^{2}}$，
∴f'（x）=$\frac{{e}^{x}（{ax}^{2}-2ax+1）}{{（1+{ax}^{2}）}^{2}}$，
∵f（x）为R上的单调增函数，
∴f'（x）≥0在R上恒成立，
又∵a为正实数，
∴f'（x）≥0在R上恒成立，
∴ax²-2ax+1≥0在R上恒成立，
∴△=4a²-4a=4a（a-1）≤0，解得0≤a≤1，
∵a＞0，
∴0＜a≤1，
∴a的取值范围为0＜a≤1，
故答案为：（0，1]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．