Question

8．已知函数f（x）=log₂x，x∈（4，8），则函数y=f（x²）+$\frac{8}{f（x）}$的值域为（　　）

• A． [8，10）
• B． （$\frac{26}{3}$，10）
• C． （8，$\frac{26}{3}$）
• D． （$\frac{25}{3}$，10）

Answer 1

分析 构造函数，设log₂x=t，t∈（2，3），则得到y=2t+$\frac{8}{t}$=2（t+$\frac{4}{t}$），利用定义得到函数的单调性，即可求出函数的值域

解答 解：∵f（x）=log₂x，x∈（4，8），
设log₂x=t，t∈（2，3），
∵f（x²）=log₂x²=2log₂x，
∴y=2t+$\frac{8}{t}$=2（t+$\frac{4}{t}$），
设t₁，t₂∈（2，3），且t₁＜t₂，
∴f（t₁）-f（t₂）=2[（t₁+$\frac{4}{{t}_{1}}$）-（t₂+$\frac{4}{{t}_{2}}$）]=2（t₁-t₂）$\frac{{t}_{1}{t}_{2}-4}{{t}_{1}{t}_{2}}$，
∵t₁，t₂∈（2，3），且t₁＜t₂，
∴t₁-t₂＜0，t₁t₂-4＞0，
∴f（t₁）-f（t₂）＜0，
∴函数y=f（t）在（2，3）上为增函数，
∴f（2）＜y＜f（3），
∴8＜y＜$\frac{26}{3}$
∴函数y=f（x²）+$\frac{8}{f（x）}$=2log₂x的值域为（8，$\frac{26}{3}$），
故选C．

点评 本题主要考查函数值域的求解，利用换元法结合对数函数和函数的单调性解决本题的关键．