Question

1．设正实数x，y满足xy=$\frac{x+2y}{2x-4y}$，则实数x的最小值为$1+\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 正实数x，y满足xy=$\frac{x+2y}{2x-4y}$，变形为：4xy²+（2-2x²）y+x=0，可得：$\left\{\begin{array}{l}{△=（2-2{x}^{2}）^{2}-16{x}^{2}≥0}\\{\frac{2{x}^{2}-2}{4x}＞0}\\{\frac{x}{4x}＞0}\end{array}\right.$，解得即可得出．

解答 解：正实数x，y满足xy=$\frac{x+2y}{2x-4y}$，
变形为：4xy²+（2-2x²）y+x=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=（2-2{x}^{2}）^{2}-16{x}^{2}≥0}\\{\frac{2{x}^{2}-2}{4x}＞0}\\{\frac{x}{4x}＞0}\end{array}\right.$，解得：x²≥3+2$\sqrt{2}$，
∴x$≥1+\sqrt{2}$．
则实数x的最小值为1+$\sqrt{2}$．
故答案为：$1+\sqrt{2}$．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．