Question

2．己知椭圆l0x²+5y²=27，过定点C（2，0）的两条互相垂直的动直线分别交椭圆于P，Q两点，F₁，F₂分别为左、右焦点，O为坐标原点．
（1）求向量|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|的最值；
（2）当向量$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$与$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$+$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$互相垂直时，求P，Q两点所在直线方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：椭圆$\frac{{x}^{2}}{\frac{27}{10}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{27}{5}}=1$，则椭圆的焦点在y轴上，a=$\frac{3\sqrt{15}}{5}$，b=$\frac{3\sqrt{30}}{10}$，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{\frac{27}{5}-\frac{27}{10}}$=$\frac{3\sqrt{30}}{10}$，由$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{PO}$，则丨$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨=2丨$\overrightarrow{PO}$丨，因此当P位于短轴顶点时，取最小值为：丨$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨_min=2b=$\frac{3\sqrt{30}}{5}$；当P为长轴顶点时，取最大值为：丨$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨_max=2a=$\frac{6\sqrt{15}}{5}$；
（2）由$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{PO}$，$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$+$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{QO}$，由向量$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$与$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$+$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$互相垂直，$\overrightarrow{PO}$⊥$\overrightarrow{QO}$，则x₁•x₂+y₁•y₂=0，由丨PQ丨的中点为M（x₀，y₀），则丨MC丨=丨MO丨，则设直线PQ的方程为y=kx+b，代入椭圆方程，由韦达定理求得x₁+x₂=-$\frac{10kb}{10+5{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{5{b}^{2}-27}{10+5{k}^{2}}$，由PC⊥QC，则x₁+x₂=2x₀=2，求得b=-$\frac{2+{k}^{2}}{k}$，y₁•y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）=$\frac{-27{k}^{2}+10{b}^{2}}{10+5{b}^{2}}$，代入即可求得k和b的值，求得P，Q两点所在直线方程．

解答 解：椭圆l0x²+5y²=27，则$\frac{{x}^{2}}{\frac{27}{10}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{27}{5}}=1$，则椭圆的焦点在y轴上，
∴a=$\frac{3\sqrt{15}}{5}$，b=$\frac{3\sqrt{30}}{10}$，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{\frac{27}{5}-\frac{27}{10}}$=$\frac{3\sqrt{30}}{10}$，
由题意可知：O为△PF₁F₂，F₁F₂上的中点，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{PO}$，则丨$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨=2丨$\overrightarrow{PO}$丨
∴当P位于短轴顶点时，丨$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨取最小值，最小值为：丨$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨_min=2b=$\frac{3\sqrt{30}}{5}$；
当P为长轴顶点时，丨$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨取最大值，最大值为：丨$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨_max=2a=$\frac{6\sqrt{15}}{5}$；
向量|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|的最小值为$\frac{3\sqrt{30}}{5}$，最大值$\frac{3\sqrt{30}}{5}$；
（2）由（1）可知：$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{PO}$，$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$+$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{QO}$，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由向量$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$与$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$+$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$互相垂直，
∴$\overrightarrow{PO}$⊥$\overrightarrow{QO}$，
∴x₁•x₂+y₁•y₂=0，
∴丨PQ丨为Rt△POQ与Rt△PCQ的公共边，
设丨PQ丨的中点为M（x₀，y₀），则丨MC丨=丨MO丨，
设直线PQ的方程为：y=kx+b，
则：$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{10{x}^{2}+5{y}^{2}=27}\end{array}\right.$，整理得：（10+5k²）x²+10kbx+5b²-27=0，
由△=（10kb）²-4（10+5k²）（5b²-27）=-27k²+10b²-54＞0，则27k²-10b²+54＜0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{10kb}{10+5{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{5{b}^{2}-27}{10+5{k}^{2}}$，
由PC⊥QC，则x₁+x₂=2x₀=2，
解得：b=-$\frac{2+{k}^{2}}{k}$，
y₁•y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）=k²x₁•x₂+kb（x₁+x₂）+b²=$\frac{-27{k}^{2}+10{b}^{2}}{10+5{b}^{2}}$，
由x₁•x₂+y₁•y₂=0，整理得：12k⁴-33k²+60=0，
解得：k=±2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=3}\end{array}\right.$，
满足27k²-10b²+54＜0，
∴直线PQ的方程：2x-y-3=0或2x+y-3=0．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，考查计算能力，向量垂直及中点坐标公式，考查计算能力，属于难题．