Question

19．给出以下四个结论，正确的个数为（　　）
①函数f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x图象的对称中心是（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，0）k∈Z；
②在△ABC中，“A＞B”是“cos2A＜cos2B”的充分不必要条件；
③在△ABC中，“bcosA=acosB”是“△ABC为等边三角形”的必要不充分条件；
④若将函数f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后变为偶函数，则φ的最小值是$\frac{π}{12}$．

• A． 0
• B． 2
• C． 3
• D． 1

Answer 1

分析 根据三角函数的对称性，可判断①；根据充要条件的定义，可判断②③；根据三角函数的奇偶性，可判断④．

解答 解：①函数f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）图象的对称中心是（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，0）k∈Z，故错误；
②在三角形中，cos2A＜cos2B等价为1-2sin²A＜1-2sin²B，即sinA＞sinB．
若A＞B，则边a＞b，则2RsinA＞2RsinB，则sinA＞sinB．充分性成立．
若sinA＞sinB，则2RsinA＞2RsinB，则a＞b，根据大边对大角，可知A＞B，必要性成立．
所以，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．
即A＞B是cos2A＜cos2B成立的充要条件，故错误；
③在△ABC中，“bcosA=acosB”?“sinBcosA=sinAcosB”?“sin（A-B）=0”?“A=B”?“△ABC为等腰三角形”
故“bcosA=acosB”是“△ABC为等边三角形”的必要不充分条件，故正确；
④若将函数f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后变为偶函数，则φ=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z，则φ的最小值是$\frac{π}{12}$，故正确．
故选：B

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了充要条件，三角函数的图象和性质等知识点，难度中档．