Question

8．已知R上的不间断函数g（x）满足：
①当x＞0时，g'（x）＞0恒成立；
②对任意的x∈R都有g（x）=g（-x）．
又函数f（x）满足：对任意的x∈R，都有f（$\sqrt{3}$+x）=-f（x）成立，当x∈[0，$\sqrt{3}$]时，f（x）=x³-3x．
若关于x的不等式g[f（x）]≤g（a²-a+2），对于x∈[2-3$\sqrt{3}$，2+3$\sqrt{3}$]恒成立，则a的取值范围为（-∞，0]∪[1，+∞）．

Answer 1

分析 由于函数g（x）满足：①当x＞0时，g'（x）＞0恒成立（g'（x）为函数g（x）的导函数）；②对任意x∈R都有g（x）=g（-x），这说明函数g（x）为R上的偶函数且在[0，+∞）上为单调递增函数，且有g|（x|）=g（x），所以g[f（x）]≤g（a²-a+2）?|f（x）|≤|a²-a+2|对x∈[2-$3\sqrt{3}$，2+3$\sqrt{3}$]恒成立，只要使得|f（x）|在定义域内的最大值小于等于|a²-a+2|的最小值，然后解出即可

解答 解：因为函数g（x）满足：当x＞0时，g'（x）＞0恒成立，且对任意x∈R都有g（x）=g（-x），
则函数g（x）为R上的偶函数且在[0，+∞）上为单调递增函数，且有g（|x|）=g（x），
∵关于x的不等式g[f（x）]≤g（a²-a+2），对于x∈[2-3$\sqrt{3}$，2+3$\sqrt{3}$]恒成立，
∴|f（x）|≤|a²-a+2|对于x∈[2-3$\sqrt{3}$，2+3$\sqrt{3}$]恒成立，
故只要使得定义域内|f（x）|_max≤|a²-a+2|，
∵对任意的x∈R，都有f（$\sqrt{3}$+x）=-f（x）成立，当x∈[0，$\sqrt{3}$]时，f（x）=x³-3x，
∴设x∈[-$\sqrt{3}$，0]，则$\sqrt{3}$+x∈[0，$\sqrt{3}$]，故f（$\sqrt{3}$+x）=$（\sqrt{3}+x）^{3}-3（\sqrt{3}+x）$
∴f（x）=-f（$\sqrt{3}$+x）=$-{x}^{3}-3\sqrt{3}x-6x$
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{3}-3\sqrt{3}{x}^{2}-6x，x∈[-\sqrt{3}，0）}\\{{x}^{3}-3x，x∈[0，\sqrt{3}]}\end{array}\right.$
当x∈[-$\sqrt{3}$，0]时，$f'（x）=-3{x}^{2}-6\sqrt{3}x-6$，令f'（x）=0，得${x}_{1}=1-\sqrt{3}$，或${x}_{2}=-1-\sqrt{3}$（舍去）
∴f（x）在$[-\sqrt{3}，1-\sqrt{3}]$上单调递增，则[$1-\sqrt{3}$，0]上单调递减，
$f（x）_{max}=f（1-\sqrt{3}）=2$，$f（x）_{min}=f（-\sqrt{3}）=0$
当x$∈[0，\sqrt{3}]$时，f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），令f'（x）=0，得x=1
∴f（x）在[0，1]单调递减，在[1，$\sqrt{3}$]单调递增，
∴f（x）_min=f（1）=-2，$f（x）_{max}=f（0）=f（\sqrt{3}）=0$
∵对任意的x∈R，都有f（$\sqrt{3}$+x）=-f（x），
∴$f（x+2\sqrt{3}）=-f（x+\sqrt{3}）=f（x）$，即f（x）为周期函数且周期为T=$2\sqrt{3}$，
∴x∈[2-3$\sqrt{3}$，2+3$\sqrt{3}$]时，f（x）_max=2，
∴|a²-a+2|≥2，解得a≤0，或a≥1
故答案为：（-∞，0]∪[1，+∞）．

点评 此题考查了函数的奇偶性和周期性的定义，利用导函数判断函数在定义域上的单调性以及求函数的最值，还考查了函数恒成立条件的应用，难度较大．