Question

13．离心率为$\frac{3}{4}$的椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），P∈C，且P到椭圆的两个焦点距离之和为16，则，椭圆C的方程为$\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{28}=1$．

Answer 1

分析 由题意可知：椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），焦点在x轴上，F₁，F₂为椭圆的左右焦点，由椭圆的定义可知：丨PF₁丨+丨PF₂丨=2a=16，即a=8，则椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{4}$，解得：c=6，则b²=a²-c²=64-36=28，即可求得椭圆C的方程．

解答 解：由椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），焦点在x轴上，F₁，F₂为椭圆的左右焦点，
由椭圆的定义可知：丨PF₁丨+丨PF₂丨=2a=16，即a=8，
由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{4}$，解得：c=6，
则b²=a²-c²=64-36=28，
∴椭圆C的方程：$\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{28}=1$，
故答案为：$\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{28}=1$．

点评 本题考查椭圆的标准方程的求法及简单几何性质，考查椭圆定义的应用，考查计算能力，属于基础题．