Question

4．设函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，其中向量$\overrightarrow{m}$=（2cosx，1），$\overrightarrow{n}$=（cosx，$\sqrt{3}$sin2x），x∈R．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知f（A）=2，b=1，△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求c的值．

Answer 1

分析 （1）由已知向量的坐标利用平面向量的数量积运算得到f（x），再由辅助角公式化积，结合复合函数的单调性求得f（x）的单调递增区间；
（2）由f（A）=2求得角A，再由${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}bc•sinA$结合三角形的面积求得c值．

解答 解：（1）f（x）=$2co{s}^{2}x+\sqrt{3}sin2x$=cos2x+$\sqrt{3}sin2x+1$=$2sin（2x+\frac{π}{6}）$+1，
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，
解得：$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ，k∈Z$．
故f（x）的单调递增区间为[$-\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ$]，k∈Z；
（2）由$f（A）=2sin（2A+\frac{π}{6}）+1=2$，得$sin（2A+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$．
而A∈（0，π），∴$2A+\frac{π}{6}∈$（$\frac{π}{6}，\frac{13π}{6}$），
∴2A+$\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}$，得A=$\frac{π}{3}$．
又${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}bc•sinA$，
∴c=$\frac{2{S}_{△ABC}}{b•sinA}=\frac{\sqrt{3}}{1×\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，训练了正弦定理在求解三角形中的应用，是中档题．