Question

9．已知二次函数f（x）=ax²+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f（-x+5）=f（x-3）且方程f（x）=x有等根．
（1）求f（x）的表达式；
（2）是否存在实数m，n（m＜n）使f（x）的定义域和值域分别是[m，n]和[3m，3n]，如果存在，求出m，n的值；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用函数的对称轴以及方程的根的关系，即可求解函数的表达式．
（2）求出函数的对称轴，通过m，n与对称轴讨论，结合函数的定义域与值域，列出方程求解即可．

解答 解：∵函数满足f（-x+5）=f（x-3），∴$f（x）的对称轴为x=1∴-\frac{b}{2a}=1$，
因为方程f（x）=x有等根，即ax²+bx-x=0，有重根，∴△=0，可得a=$-\frac{1}{2}$，
可得b=1，
∴二次函数f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x．
（2）二次函数f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x．的对称轴为x=1，
当m＜n＜1时，$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=3m}\\{f（n）=3n}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{n=0}\\{m=-4}\end{array}\right.$；
当1＜m＜n时，$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=3n}\\{f（n）=3m}\end{array}\right.$，方程无解；
当n＞1＞m时，f（1）=$\frac{1}{2}$=3n，无解；
综上所述，n=0，m=-4．

点评 本题考查二次函数的简单性质的应用，函数的对称轴与函数的定义域与值域的关系，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．