Question

14．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，平面PAB⊥平面ABCD，E是PA的中点，且PA=PB=AB=2，BC=$\sqrt{2}$．
（1）求证：PC∥平面EBD；
（2）求三棱锥A-PBD的体积．

Answer 1

分析 （1）连接AC，交BD于点O，连接EO，则PC∥EO．由此能证明PC∥平面EBD．
（2）取AB中点H，连接PH，由PA=PB，得PH⊥AB，由V_A-PBD=V_P-ABD，能求出结果．

解答 证明：（1）连接AC，交BD于点O，连接EO，
则O是AC的中点，
又∵E是PA的中点，∴EO是△PAC的中位线，∴PC∥EO．
又∵EO?平面EBD，PC?平面EBD，
∴PC∥平面EBD．
解：（2）取AB中点H，连接PH，
由PA=PB，得PH⊥AB，
又∵平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD=AB，
∴PH⊥平面ABCD．
∵△PAB是边长为2的等边三角形，∴$PH=\sqrt{3}$，
又∵${S_{△ABD}}=\frac{1}{2}×AB×AD=\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}=\sqrt{2}$，
∴${V_{三棱锥A-PBD}}={V_{三棱锥P-ABD}}=\frac{1}{3}{S_{△ABD}}•PH=\frac{1}{3}×\sqrt{2}×\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考百三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．