Question

3．已知圆M：x²+（y-1）²=1＜，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点．
（1）若Q（1，0），求切线QA，QB的方程；
（2）若|AB|=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，求直线MQ的方程．

Answer 1

分析 （1）设出直线方程，利用直线与圆相切，列出方程求解即可．
（2）设AB与MQ交于P，求出|MP|．在Rt△MBQ中，|MB|²=|MP||MQ|，设Q（x，0），求出Q的坐标，然后求解直线方程．

解答 解（1）设过点Q的圆M的切线方程为x=my+1，则圆心M到切线的距离为1，
∴$\frac{|2m+1|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=1，∴m=$-\frac{4}{3}$或0，
∴QA，QB的方程分别为3x+4y-3=0和x=1．
（2）设AB与MQ交于P，则MP⊥AB，MB⊥BQ，∴|MP|=$\sqrt{1-（\frac{2\sqrt{2}}{3}）^{2}}=\frac{1}{3}$．
在Rt△MBQ中，|MB|²=|MP||MQ|，即1=$\frac{1}{3}$|MQ|，
∴|MQ|=3，∴x²+（y-2）²=9．
设Q（x，0），则x²+2²=9，∴x=±$\sqrt{5}$，∴Q（±$\sqrt{5}$，0），
∴MQ的方程为2x+$\sqrt{5}$y-2$\sqrt{5}$=0或2x-$\sqrt{5}$y+2$\sqrt{5}$=0．

点评 本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．