Question

5．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-3．
（1）求BC的长；
（2）求sin（C+$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由题意利用平面向量数量积的运算可求cosA的值，结合A∈（0，π），利用特殊角的三角函数值即可求得A的值，进而利用余弦定理可求BC的值．
（2）解法一：由正弦定理可求sinC的值，利用大边对大角，同角三角函数基本关系式可求cosC的值，进而利用两角和的正弦函数公式即可计算得解．
解法二：由正弦定理可求sinC的值，再由余弦定理求得cosC的值，进而利用两角和的正弦函数公式即可计算得解．

解答 （本题满分为14分）
解：（1）∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CA}=AB•CA•（-cosA）=2×3•（-cosA）=-3$，
∴$cosA=\frac{1}{2}$，
又∵A∈（0，π），
∴$A=\frac{π}{3}$，…（2分）
由余弦定理得$BC=\sqrt{A{B^2}+A{C^2}-2AB•ACcos\frac{π}{3}}$…（4分）
=$\sqrt{7}$…（6分）
（2）解法一：由正弦定理得$\frac{BC}{{sin{{60}°}}}=\frac{AB}{sinC}$，即$sinC=\frac{{2×\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{\sqrt{7}}}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．…（8分）
因为AB＜BC所以C＜A即角C为锐角，…（10分）
所以$cosC=\sqrt{1-{{sin}^2}C}=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$，…（11分）
所以$sin（C+\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sinC+\frac{{\sqrt{2}}}{2}cosC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}（sinC+cosC）$…（12分）
=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}×（\frac{{\sqrt{21}}}{7}+\frac{{2\sqrt{7}}}{7}）=\frac{{\sqrt{42}+2\sqrt{14}}}{14}$．…（14分）
解法二：由正弦定理得$\frac{BC}{{sin{{60}°}}}=\frac{AB}{sinC}$即$sinC=\frac{{2×\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{\sqrt{7}}}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，…（8分）
再由余弦定理得$\begin{array}{l}cosC=\frac{{A{C^2}+B{C^2}-A{B^2}}}{2•AC•BC}=\frac{{{3^2}+{{（\sqrt{7}）}^2}-{2^2}}}{{2×3×\sqrt{7}}}\end{array}$…（10分）
=$\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$，…（11分）
所以$sin（C+\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sinC+\frac{{\sqrt{2}}}{2}cosC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}（sinC+cosC）$…（12分）
=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}×（\frac{{\sqrt{21}}}{7}+\frac{{2\sqrt{7}}}{7}）=\frac{{\sqrt{42}+2\sqrt{14}}}{14}$．…（14分）

点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算，特殊角的三角函数值，余弦定理，正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．