Question

13．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{6}（{x^2}+5x），0≤x＜3\\ 10-2x，3≤x≤5\end{array}\right.，?m，n∈[{0，5}]，m＜n$，使得f（x）在定义域[m，n]上的值域为[m，n]，则这样的实数对（m，n）共有（　　）个．

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 先画出函数的图象，结合函数的图象分①0≤m＜n＜3，②3≤m＜n≤5，③0≤m＜3＜n＜5三种情况，判断函数的表达式及在对应区间上的单调性可求．

解答 解：先画出函数的图象，如图所示，由题意可得m≠0
①当0≤m＜n＜3时，f（x）=$\frac{{x}^{2}+5x}{6}$在区间[m，n]单调递增，则$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=m}\\{f（n）=n}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+5m=6m}\\{{n}^{2}+5n=6n}\end{array}\right.$，∴m=0，n=1
②当3≤m＜n≤5，f（x）=10-2x在[m，n]单调递减，则$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=n}\\{f（n）=m}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{10-2m=n}\\{10-2n=m}\end{array}\right.$，∴m=n（舍）
③当0≤m＜3＜n＜5时，可知函数的最大值为f（3）=4=n，从而可得函数的定义域及值域为[m，4]，而f（4）=2
（i）当m=2时，定义域[2，4]，f（2）=$\frac{7}{3}$＞f（4）=2，故值域为[2，4]符合题意
（ii）当m＜2时，$\frac{{m}^{2}+5m}{6}$=m可得m=1，n=4，符合题意
（iii）当m=0时，定义域[0，4]，f（3）=4＞f（4）=2，故值域为[0，4]符合题意
综上可得符合题意的有（0，1），（0，4），（1，4），（2，4）
故选：C．

点评 本题主要考查了分段函数的值域的求解，解题中如能借助于函数的图象，可以简化运算，要注意数形结合及分类讨论思想在解题中的运用．