Question

10．已知函数$f（x）=\frac{1}{{1+{x^2}}}$，则$f（2016）+f（2015）+…+f（2）+f（\frac{1}{2}）+…+f（\frac{1}{2015}）$$+f（\frac{1}{2016}）$的值为（　　）

• A． 2014
• B． 2015
• C． 2016
• D． 2017

Answer 1

分析 由f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1，能求出$f（2016）+f（2015）+…+f（2）+f（\frac{1}{2}）+…+f（\frac{1}{2015}）$$+f（\frac{1}{2016}）$的值．

解答 解：∵函数$f（x）=\frac{1}{{1+{x^2}}}$，
∴f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{1}{1+{x}^{2}}+\frac{1}{1+\frac{1}{{x}^{2}}}$=$\frac{1}{1+{x}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$=1，
$f（2016）+f（2015）+…+f（2）+f（\frac{1}{2}）+…+f（\frac{1}{2015}）$$+f（\frac{1}{2016}）$
=2015×[f（2016）+f（$\frac{1}{2016}$）]
=2015．
故选：B．

点评 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．