Question

15．已知椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}$=1，直线l：y=kx+t（k为常数，t≠0）与椭圆相交于A，B两点，记△AOB的面积为S（其中O为坐标原点），则函数S=f（t）的奇偶性为（　　）

• A． 偶函数
• B． 奇函数
• C． 非奇非偶函数
• D． 奇偶性与k的值有关

Answer 1

分析 由椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}$=1焦点在x轴上，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将直线方程代入椭圆方程，整理得：（9+16k²）x²+32ktx+16t²-16×9=0，由韦达定理及弦长公式可知：丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{24\sqrt{16{k}^{2}-{t}^{2}+9}}{9+16{k}^{2}}$，则O到直线AB的距离d=$\frac{丨t丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，S=$\frac{1}{2}$•丨AB丨•d=$\frac{12丨t丨\sqrt{16{k}^{2}-{t}^{2}+9}}{9+16{k}^{2}}$，由f（-t）=$\frac{12丨t丨\sqrt{16{k}^{2}-{t}^{2}+9}}{9+16{k}^{2}}$=f（t），函数S=f（t）为偶函数．

解答 解：由题意可知：椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}$=1焦点在x轴上，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+t}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$，
整理得：（9+16k²）x²+32ktx+16t²-16×9=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{32kt}{9+16{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{16{t}^{2}-16×9}{9+16{k}^{2}}$，
由弦长公式可知：丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{3{2}^{2}{k}^{2}{t}^{2}}{（9+16{k}^{2}）^{2}}-\frac{4×16（{t}^{2}-9）}{9+16{k}^{2}}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{24\sqrt{16{k}^{2}-{t}^{2}+9}}{9+16{k}^{2}}$，
由点到直线的距离公式可知：O到直线AB的距离d=$\frac{丨0-k×0-t丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{丨t丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
则△AOB的面积S=$\frac{1}{2}$•丨AB丨•d=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{24\sqrt{16{k}^{2}-{t}^{2}+9}}{9+16{k}^{2}}$•$\frac{丨t丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{12丨t丨\sqrt{16{k}^{2}-{t}^{2}+9}}{9+16{k}^{2}}$，
∴S=f（t）=$\frac{12丨t丨\sqrt{16{k}^{2}-{t}^{2}+9}}{9+16{k}^{2}}$，
由f（-t）=$\frac{12丨t丨\sqrt{16{k}^{2}-{t}^{2}+9}}{9+16{k}^{2}}$=f（t），
∴函数S=f（t）为偶函数，
故选：B．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，点到直线的距离公式及三角形面积公式的综合应用，考查函数奇偶性的判断，考查计算能力，属于中档题．