Question

3．在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BE}$=$\frac{33}{32}$，则AB的长为$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由条件并结合图形可得到$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BE}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，这样代入$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BE}$进行数量积的运算即可得出$-\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+\frac{1}{4}|\overrightarrow{AB}|+1=\frac{33}{32}$，解该方程即可求出AB的长．

解答 解：根据条件：
$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BE}=（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}）•（\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}）$
=$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}）•（-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}）$
=$-\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}+{\overrightarrow{AD}}^{2}$
=$-\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+\frac{1}{4}|\overrightarrow{AB}|+1$
=$\frac{33}{32}$；
∴$16|\overrightarrow{AB}{|}^{2}-8|\overrightarrow{AB}|+1=0$；
解得$|\overrightarrow{AB}|=\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 考查向量加法的平行四边形法则，向量加法、数乘的几何意义，相等向量和相反向量的概念，向量数量积的运算．