Question

20．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₁且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF₂与椭圆的另一个交点为C，若$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{{F}_{2}C}$，则椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{10}}{5}$
• D． $\frac{3\sqrt{3}}{10}$

Answer 1

分析 由题意可知：将x=-c，代入椭圆方程可得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，可设A（-c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），C（x，y），由$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{{F}_{2}C}$，则（2c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$）=2（x-c，y），2c=2x-2c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$=2y，求得x=2c，y=-$\frac{{b}^{2}}{2a}$，代入椭圆方程，由b²=a²-c²，整理得：5c²=a²，求得a=$\sqrt{5}$c，由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

解答 解：由椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，设椭圆的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），
由x=-c，代入椭圆方程可得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
可设A（-c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），C（x，y），
由$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{{F}_{2}C}$，
∴（2c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$）=2（x-c，y），
即2c=2x-2c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$=2y，
可得：x=2c，y=-$\frac{{b}^{2}}{2a}$，
代入椭圆方程可得，$\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{b}^{2}}{4{a}^{2}}=1$，16c²+b²-4a²=0，
由b²=a²-c²，整理得：5c²=a²，
∴a=$\sqrt{5}$c，
由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故选：A．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的通径的应用，考查向量的坐标运算，考查椭圆的离心率公式，考查计算能力，属于中档题．