Question

14．已知函数f（x）=x³+ax²-a²x-1，a＞0．
（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若关于x的不等式f（x）≤0在[1，+∞）上有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由当a=2时，f（x）=x³+2x²-4x-1，求导：f′（x）=3x²+4x²-4=（3x-2）（x+2），f′（x）=0，解得：x=$\frac{2}{3}$，x=-2，令f′（x）＞0，求得函数的单调递增区间，令f′（x）＜0，求得函数的单调递减区间；
（2）由题意可知：f（x）在区间[1，+∞）上的最小值小于等于0，求导f′（x）=3x²+2ax²-2²=（3x-a）（x+a），令f′（x）=0，解得：x₁=$\frac{a}{3}$＞0，x₂=-a＜0，①当$\frac{a}{3}$≤1，即a≤3时，由函数的单调性可知：当x=1时取最小值，即f（1）≤0，即可求得a的取值范围；当$\frac{a}{3}$＞1，即a＞3时，则当x=$\frac{a}{3}$时，取最小值，f（$\frac{a}{3}$）=$\frac{{a}^{3}}{27}$+$\frac{{a}^{3}}{9}$-$\frac{{a}^{3}}{3}$-1≤0，即可求得实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=2时，函数f（x）=x³+2x²-4x-1，
求导：f′（x）=3x²+4x²-4=（3x-2）（x+2），
令f′（x）=0，解得：x=$\frac{2}{3}$，x=-2，
由f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{2}{3}$或x＜-2，
由f′（x）＜0，解得：-2＜x＜$\frac{2}{3}$，
∴函数f（x）的单调递减区间为（-2，$\frac{2}{3}$），单调递增区间（-∞，-2），（$\frac{2}{3}$，+∞）；
（2）要使f（x）≤0在[1，+∞）上有解，只要f（x）在区间[1，+∞）上的最小值小于等于0，
由f′（x）=3x²+2ax²-2²=（3x-a）（x+a），
令f′（x）=0，解得：x₁=$\frac{a}{3}$＞0，x₂=-a＜0，
①当$\frac{a}{3}$≤1，即a≤3时，f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，
∴f（x）在[1，+∞）上的最小值为f（1），
由f（1）≤0，即1+a-a²-1≤0，整理得：a²-a≥0，
解得：a≥1或a≤0，
∴1≤a≤3．
②当$\frac{a}{3}$＞1，即a＞3时，f（x）在区间[1，$\frac{a}{3}$]上单调递减，在[$\frac{a}{3}$，+∞）上单调递增，
∴f（x）在[1，+∞）上最小值为f（$\frac{a}{3}$），
由f（$\frac{a}{3}$）=$\frac{{a}^{3}}{27}$+$\frac{{a}^{3}}{9}$-$\frac{{a}^{3}}{3}$-1≤0，解得：a≥-$\root{3}{\frac{27}{5}}$，
∴a＞3．
综上可知，实数a的取值范围是[1，+∞）．

点评 本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及最值，考查导数与不等式的综合应用，考查分类讨论思想，属于中档题．