Question

4．设函数f（x）=-x（x-a）²（x∈R），其中a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）当a≠0时，求函数f（x）的极大值和极小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求导，再根据导数的几何意义即可求出曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程，
（Ⅱ）先求函数f（x）=-x（x-a）²（x∈R）的导数，令导数等于0，得到函数的极值点，再判断极值点两侧导数的正负，如果左侧导数为正，右侧导数为负，取得极大值，如果左侧导数为负，右侧导数为正，取得极小值．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=-x（x-1）²=-x³+2x²-x
∴f′（x）=-2x²+4x-1，
∴k=f′（2）=-2×2²+4×2-1=-1，
f（2）=-2（2-1）²=-2，
∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y+2=-（x-2），即x+y=0
（Ⅱ）：对函数f（x）=-x（x-a）²（x∈R）求导数，得，f′（x）=-（3x-a）（x-a）
令f′（x）=0，得，x=a，或x=$\frac{a}{3}$
当a＜0，a＜$\frac{a}{3}$，当x＜a时，f′（x）＜0，当a＜x＜$\frac{a}{3}$时，f′（x）＞0，当x＞$\frac{a}{3}$时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在x=a处取得极小值f（a）=，且f（a）=0；函数f（x）在x=$\frac{a}{3}$处取得极大值f（$\frac{a}{3}$）=-$\frac{{a}^{3}}{27}$．
当a＞0，a＞$\frac{a}{3}$，当x＜$\frac{a}{3}$时，f′（x）＜0，
当$\frac{a}{3}$＜x＜a时，f′（x）＞0，当x＞a时，f′（x）＜0．
∴函数f（x）在x=a处取得极大值f（a），且f（a）=0；函数f（x）在x=$\frac{a}{3}$处取得极小值f（$\frac{a}{3}$）=-$\frac{{a}^{3}}{27}$．

点评 本题主要考查了函数的导数与极值的关系，极值处导数等于0，且极值点左侧导数为正，右侧导数为负，取得极大值，如果左侧导数为负，右侧导数为正，取得极小值