Question

14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知$1+\frac{tanA}{tanB}=\frac{2c}{{\sqrt{3}b}}$
（1）求角A的大小；
（2）现在给出下列三个条件：①a=1；②2c-（$\sqrt{3}$+1）b=0；③B=$\frac{π}{4}$，试从中选择两个条件可以确定△ABC，求所确定的△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知利用三角形内角和定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理可得$\frac{sinC}{cosAsinB}$=$\frac{2sinC}{\sqrt{3}sinB}$，结合sinC≠0，可得cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，进而可求A．
（2）方法一：选择①②，由余弦定理，可求b，c的值，进而利用三角形面积公式即可得解．
方法二：选择①③，可求C=$\frac{7π}{12}$，由正弦定理可求c的值，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（1）因为$1+\frac{tanA}{tanB}=\frac{2c}{{\sqrt{3}b}}$，
所以由正弦定理，得：1+$\frac{sinAcosB}{cosAsinB}$=$\frac{sin（A+B）}{cosAsinB}$=$\frac{2sinC}{\sqrt{3}sinB}$，
因为A+B+C=π，
所以：sin（A+B）=sinC，
所以$\frac{sinC}{cosAsinB}$=$\frac{2sinC}{\sqrt{3}sinB}$，
所以cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得：A=$\frac{π}{6}$．
（2）方法一    选择①②，可确定△ABC．
因为A=$\frac{π}{6}$，a=1，2c-（$\sqrt{3}$+1）b=0，
由余弦定理，得：1²=b²+（$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$b）²-2b×$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$b×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
得b²=2，b=$\sqrt{2}$，c=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$．
方法二    选择①③，可确定△ABC．
因为B=$\frac{π}{4}$，所以C=$\frac{7π}{12}$，
又sin$\frac{7π}{12}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
所以由正弦定理得：c=$\frac{asinC}{sinA}$=$\frac{1×sin\frac{7π}{12}}{sin\frac{π}{6}}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$．

点评 本题主要考查了三角形内角和定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．