Question

13．椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），F（c，0）为椭圆右焦点，A为椭圆左顶点，且b²=ac，P为椭圆上不同于A的点，则使$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PF}$=0的点P的个数为（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 0

Answer 1

分析 根据椭圆a，b，c，可得F，A的坐标，设P（x，y），根据$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PF}$=0和点P在椭圆上，解得即可得到交点个数．

解答 解：由题意可知：椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），焦点在x轴上，设P（x，y），
则F（c，0），A（-a，0），
由$\overrightarrow{PA}$=（-a-x，-y），$\overrightarrow{PF}$=（c-x，-y），
由$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PF}$=0，则（-a-x）（c-x）+y²=0，
-ac+（a-c）x+x²+y²=0，
由P在椭圆上，y²=b²（1-$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$），
∴-ac+（a-c）x+x²+b²（1-$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$）=0，
由b²=ac，
∴（1-$\frac{c}{a}$）x²+（a-c）x=0
解得：x=0，x=-a，
∴当x=0时，y=±b，
当x=-a时，y=0，
∵P为椭圆上不同于A的点，
∴P点的坐标为（0，b）或（0，-b），
∴使$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PF}$=0的点P的个数为2个，
故选：C．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，以及向量的数量积公式，考查了学生的运算能力，属于中档题．