Question

9．已知数列{a_n}满足a_n+1=2a_n，且a₁、a₂+1、a₃成等差数列．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记数列{log₂a_n}的前n项和为S_n，求使不等式S_n＞45成立的最小正整数n的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知：数列{a_n}为公比为2的等比数列，则a₃=4a₁，a₂=2a₁，由a₁、a₂+1、a₃成等差数列，则2（2a₁+1）=a₁+4a₁，即可求得a₁=2，由等比数列的通项公式，即可求得{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=log₂a_n=n，则数列{b_n}是以1为首项，以1为公差的等差数列，数列{log₂a_n}的前n项和为S_n，S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，由不等式S_n＞45，即n²+n-90＞0即可求得最小正整数n的值．

解答 解：（Ⅰ）由数列{a_n}满足a_n+1=2a_n，
∴数列{a_n}为公比为2的等比数列，
由已知：a₁、a₂+1、a₃成等差数列，即2（a₂+1）=a₁+a₃，
由a₃=4a₁，a₂=2a₁，
∴2（2a₁+1）=a₁+4a₁，解得：a₁=2，
由等比数列通项公式可知：a_n=a₁•2^n-1=2ⁿ，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ；
（Ⅱ）令b_n=log₂a_n=n，
当n=1时，b₁=1，
当n≥2时，b_n-b_n-1=1，
∴数列{b_n}是以1为首项，以1为公差的等差数列，
∴数列{log₂a_n}的前n项和为S_n，S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
由不等式S_n＞45，即n²+n-90＞0
解得：n＞9，
使不等式S_n＞45成立的最小正整数n的值10．

点评 本题考查等差数列的性质，等比数列通项公式，考查对数函数的运算性质，考查数列与不等式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．