Question

17．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}，x≤0\\-{x^2}，x＞0.\end{array}$
（1）求f[f（2）]并判断函数f（x）的奇偶性；
（2）若对任意t∈[1，2]，f（t²-2t）+f（k-2t²）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由解析式可求f[f（2）]的值，利用函数奇偶性的定义可判断函数f（x）的奇偶性；
（2）由（1）知奇函数f（x）在R上为减函数，任意t∈[1，2]，f（t²-2t）+f（k-2t²）＜0恒成立?任意t∈[1，2]，t²-2t＞2t²-k恒成立，分离参数k，即可求实数k的取值范围．

解答 解：（1）f[f（2）]=f（-2²）=f（-4）=（-4）²=16．…（1分）
设x＞0，则f（x）=-x²且-x＜0，…（2分）
∴f（-x）=x²=-f（x）．…（3分）
当x＜0，同理有f（-x）=-f（x），又f（0）=0，x∈R，
∴函数f（x）是奇函数．…（5分）
（2）∵函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且函数f（x）是奇函数，…（6分）
∴函数f（x）在R上为减函数，…（7分）
∵f（x）是奇函数，∴由f（t²-2t）+f（k-2t²）＜0得f（t²-2t）＜f（2t²-k），…（8分）
则对任意t∈[1，2]，t²-2t＞2t²-k恒成立，…（9分）
即k＞t²+2t对任意t∈[1，2]恒成立，…（10分）
当t=2时，t²+2t取最大值8，∴k＞8，…（11分）
故实数k的取值范围是（8，+∞）．…（12分）

点评 本题考查函数恒成立问题，考查函数奇偶性的判定，考查函数奇偶性、单调性与最值的综合应用，考查转化思想，属于中档题．