Question

6．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是BC的中点，且AD=$\sqrt{10}$，若S_△ABC=4，b＞c，且$\frac{b-csinA}{a}$=cosC，则B的值为（　　）

• A． 60°
• B． 120°
• C． 45°
• D． 90°

Answer 1

分析 由正弦定理化简已知等式可得：sinB=sinAcosC+sinCsinA，结合三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式及sinC≠0，可得sinA=cosA，进而可求A=45°，cosC=$\frac{2b-\sqrt{2}c}{2a}$，利用三角形面积公式可求bc=8$\sqrt{2}$，利用余弦定理可得：b²+c²=24，联立解得b，c的值，利用等腰三角形的性质可求B的值．

解答 解：∵$\frac{b-csinA}{a}$=cosC，可得：b=acosC+csinA，
由正弦定理可得：sinB=sinAcosC+sinCsinA，
又∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+sinCcosA，
∴sinCsinA=sinCcosA，
∵sinC≠0，
∴sinA=cosA，可得：A=45°，可得：cosC=$\frac{2b-\sqrt{2}c}{2a}$，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=4，可得：bc=8$\sqrt{2}$，①
∵cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
∴可得：$\frac{2b-\sqrt{2}c}{2a}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，可得：b²+c²=24，②
∴由①②解得：$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{b=2\sqrt{2}}\end{array}\right.$（b＞c，故舍去），或$\left\{\begin{array}{l}{c=2\sqrt{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}-2bccosA}$=2$\sqrt{2}$=c，
∴A=C=45°，可得：B=180°-A-B=90°．
故选：D．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式，余弦定理，等腰三角形的性质在解三角形中的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．