Question

16．已知{a_n}是公差为3的等差数列，数列{b_n}满足b₁=1，b₂=$\frac{1}{3}$，a_nb_n+1+b_n+1=nb_n，．
（1）求a₁的值并求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件直接求解a₁的值，然后求解数列{a_n}的通项公式．
（2）判断数列{b_n}的等比数列，然后求解数列的和．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）由b₁=1，b₂=$\frac{1}{3}$，a_nb_n+1+b_n+1=nb_n，当n=1时，有a₁b₂+b₂=b₁（2分）
因为$\frac{1}{3}$a₁=$\frac{2}{3}$，所以a₁=2（4分）
又∵{a_n}是公差为3的等差数列，所以a_n=3n-1（6分）
（2）由a_n=3n-1知：（3n-1）b_n+1+b_n+1=nb_n，
化简得3b_n+1=b_n，即$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{1}{3}$（8分）
即数列{b_n}是以1为首项，以$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，所以${b_n}={（\frac{1}{3}）^{n-1}}$（10分）
所以等比数列{b_n}的前n项和${S_n}=\frac{{1×[1-{{（\frac{1}{3}）}^n}]}}{{1-\frac{1}{3}}}=\frac{3}{2}-\frac{3}{2}×{（\frac{1}{3}）^n}$（12分）

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力．