Question

1．已知$\frac{sin（\frac{π}{2}-α）+sin（-π-α）}{3cos（2π+α）+cos（\frac{3π}{2}-α）}=3$．
（I）求$\frac{sinα-3cosα}{sinα+cosα}$的值；
（II）若圆C的圆心在x轴上，圆心到直线y=tanα•x的距离为$2\sqrt{5}$且圆C被直线y=tanα•x所截弦长为8，求圆C的标准方程．

Answer 1

分析 （I）利用诱导公式对已知等式进行化简得到$\frac{cosα+sinα}{3cosα-sinα}$=3，然后由同角三角函数关系求得tanα=2，代入所求的代数式进行求值；
（II）利用圆心，半径（圆心到直线y=2x的距离为2$\sqrt{5}$）、半弦长、弦心距的勾股定理关系，求出圆心坐标，然后求出圆C的标准方程．

解答 解：（I）∵知$\frac{sin（\frac{π}{2}-α）+sin（-π-α）}{3cos（2π+α）+cos（\frac{3π}{2}-α）}=3$，
∴$\frac{sin（\frac{π}{2}-α）+sin（-π-α）}{3cos（2π+α）+cos（\frac{3π}{2}-α）}$=$\frac{cosα+sinα}{3cosα-sinα}$=3．
∴cosα+sinα=9cosα-3sinα，
∴tanα=2，
∴$\frac{sinα-3cosα}{sinα+cosα}$=$\frac{tanα-3}{tanα+1}$=$\frac{2-3}{2+1}$=-$\frac{1}{3}$；
（II）设圆C的圆心坐标为（a，0），由圆心到直线y=2x的距离为2$\sqrt{5}$，
得$\frac{|2a|}{\sqrt{5}}$=2$\sqrt{5}$，
∴a=±5．
又圆C被直线y=2x所截弦长为8，
故圆C的半径r=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}+{4}^{2}}$=6，
故圆C的标准方程为（x±5）²+y²=36．

点评 本题考查了同角三角函数基本关系的应用、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了同学们解决直线与圆问题的能力．