Question

18．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的体积为$\frac{243}{16}π$．

Answer 1

分析 正四棱锥P-ABCD的五个顶点在同一球面上，则其外接球的球心在它的高PO₁上，记为O，如图．求出AO₁，OO₁，解出球的半径，求出球的体积．

解答 解：正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高PO₁上，
记为O，PO=AO=R，PO₁=4，OO₁=4-R，
在Rt△AO₁O中，AO₁=$\sqrt{2}$，由勾股定理R²=2+（4-R）²得R=$\frac{9}{4}$，
∴球的体积为$\frac{243}{16}π$．
故答案为：$\frac{243}{16}π$．

点评 本题考查球的表面积，球的内接体问题，解答关键是确定出球心的位置，利用直角三角形列方程式求解球的半径．