Question

10．已知椭圆M：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，一个焦点到相应准线的距离为3，过点A（0，2）且斜率为k （k＞0）的直线l与椭圆有且只有一个公共点，l与x轴交于点B．
（1）求椭圆M的方程和直线l的方程；
（2）圆N的圆心在x轴上，且与直线l相切于点A，试在圆N上求一点P，使 PB=3PA．

Answer 1

分析 （1）由题意列关于a，c的方程组，求解得a，c的值，由隐含条件求得b，则椭圆方程可求．设出直线方程，与椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程，由判别式等于0求得k，则直线l的方程可求；
（2）求出圆N的方程，设出P的坐标，由PB=3PA求得P的轨迹，联立两圆的方程可得P的坐标．

解答 解：（1）由题意有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{{a}^{2}}{c}-c=3}\end{array}\right.$，解得a=2，c=1，
从而b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
由题意可得，直线l的方程为y=kx+2（k＞0），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+16kx+4=0．
由△=256k²-16（3+4k²）=0，解得k=$\frac{1}{2}$（k＞0）．
∴直线l的方程为y=$\frac{1}{2}x+2$，即x-2y+4=0；
（2）如图，设圆N的圆心为（m，0），
由题意可得，${k}_{AN}=-\frac{2}{m}=-2$，得m=1．
则半径r=$\sqrt{5}$，
∴圆N的方程为（x-1）²+y²=5．①
设P（x，y），则由 PB=3PA，得$\sqrt{（x+4）^{2}+{y}^{2}}=3\sqrt{{x}^{2}+（y-2）^{2}}$，
化简得：2x²+2y²-2x-9y+5=0．②
联立①②解得：P（$\frac{11-18\sqrt{2}}{17}，\frac{27-4\sqrt{2}}{17}$）或P（$\frac{11+18\sqrt{2}}{17}，\frac{27+4\sqrt{2}}{17}$）．

点评 本题主要考查了直线与椭圆方程．考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．