Question

20．如图，在圆锥PO中，已知PO=$\sqrt{2}$，⊙O 的直径AB=2，C是弧$\widehat{AB}$的中点，D为AC的中点．
（1）证明：AC⊥平面POD；
（2）求二面角B-PA-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连结OC，推导出AC⊥OD，AC⊥PO，由此能证明AC⊥平面POD，
（2）以O为坐标原点，OB、OC、OP所在直线分别为x轴、y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-PA-C的余弦值．

解答 证明：（1）连结OC，因为OA=OC，D是AC的中点，∴AC⊥OD，
又PO⊥底面⊙O，AC?底面⊙O，
所以AC⊥PO，
因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，
所以AC⊥平面POD，
解：（2）如图所示，以O为坐标原点，OB、OC、OP所在直线分别为x轴、y轴，z轴，
建立空间直角坐标系，
则O（0，0，0），A（-1，0，0），B（1，0，0），
C（0，1，0），P（0，0，$\sqrt{2}$），D（-$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$，0），
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面PAC的一个法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=-x-\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=y+\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{2}，\sqrt{2}，1$）．
又因为y轴⊥平面PAB，
所以平面PAB的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
设向量$\overrightarrow{n}$和$\overrightarrow{m}$的夹角为θ，
则cosθ=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
由图可知，二面角B-PA-C的平面角与θ相等，
所以二面角B-PA-C的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．