Question

14．某柱体实心铜制零件的截面边长是长度为55毫米线段AB和88毫米的线段AC以及圆心为P，半径为PB的一段圆弧BC构成，其中∠BAC=60°．
（1）求半径PB的长度；
（2）现知该零件的厚度为3毫米，试求该零件的重量（每1个立方厘米铜重8.9克，按四舍五入精确到0.1克）．V_柱=S_底•h．

Answer 1

分析 （1）在△ABP中，由余弦定理建立方程，即可求半径PB的长度；
（2）求出V_柱=S_底•h，即可求该零件的重量．

解答 解：（1）∵AB=55，AC=88，BP=R，∠BAC=60°．AP=88-R，
∴在△ABP中，由余弦定理可得：BP²=AB²+AP²-2AB•AP•cos∠BAC，可得：R²=55²+（88-R）²-2×55×（88-R）×cos60°，
∴解得：R=49mm．
（2）在△ABP中，AP=88-49=39mm，AB=55，BP=49，
cos∠BPA=$\frac{3{9}^{2}+4{9}^{2}-5{5}^{2}}{2×39×49}$=$\frac{897}{3822}$≈0.2347，
∴sin∠BPA≈0.972．
∴∠BPA=arcsin0.972．
V_柱=S_底•h=（S_△ABP+S_扇形BPC）•h=（$\frac{1}{2}×55×39×\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{（arcsin0.972）π•4{9}^{2}}{360}$）•3
该零件的重量=（$\frac{1}{2}×55×39×\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{（arcsin0.972）π•4{9}^{2}}{360}$）•3÷1000×8.9≈82.7．

点评 本题考查余弦定理的运用，考查面积的计算，属于中档题．