Question

8．设函数f（x）对x≠0的实数满足$f（x）-2f（{\frac{1}{x}}）=-3x+2$，那么$\int_1^2{f（x）dx}$=2ln2-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 先求出f（x）=x+$\frac{2}{x}-2$，从而$\int_1^2{f（x）dx}$=${∫}_{1}^{2}xdx+{∫}_{1}^{2}\frac{2}{x}dx-{∫}_{1}^{2}2dx$，由此能求出结果．

解答 解：∵函数f（x）对x≠0的实数满足$f（x）-2f（{\frac{1}{x}}）=-3x+2$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（x）-2f（\frac{1}{x}）=-3x+2}\\{f（x）-2f（\frac{1}{x}）=-3x+2}\end{array}\right.$，
解得f（x）=x+$\frac{2}{x}-2$，
∴$\int_1^2{f（x）dx}$=${∫}_{1}^{2}xdx+{∫}_{1}^{2}\frac{2}{x}dx-{∫}_{1}^{2}2dx$
=${\frac{{x}^{2}}{2}|}_{1}^{2}$+$2lnx{|}_{1}^{2}$-$2x{|}_{1}^{2}$
=2ln2-$\frac{1}{2}$．
故答案为：$2ln2-\frac{1}{2}$．

点评 本题考查函数的定积分的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意定积分的定义和性质的合理运用．