Question

10．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且${S_n}=\frac{3}{2}{n^2}-\frac{1}{2}n（{n∈{N^*}}）$，数列{b_n}满足${a_n}=3{log_2}{b_n}-2（{n∈{N^*}}）$，则数列{a_n•b_n}的前n项和T_n=10+（3n-5）2ⁿ⁺¹．

Answer 1

分析 利用a_n=S_n-S_n-1求出数列{a_n}的通项公式，然后利用${a_n}=3{log_2}{b_n}-2（{n∈{N^*}}）$，求出数列{b_n}通项公式；利用c_n=a_nb_n．求出数列c_n的通项公式，写出前n项和T_n的表达式，利用错位相减法，求出前n项和T_n．

解答 解：由已知得，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（$\frac{3}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n）-[$\frac{3}{2}$（n-1）²-$\frac{1}{2}$（n-1）]=3n-2，
又a₁=1=3×1-2，符合上式．
故数列{a_n}的通项公式a_n=3n-2．
又因为${a_n}=3{log_2}{b_n}-2（{n∈{N^*}}）$，
所以log₂b_n=$\frac{1}{3}$（a_n+2）=n，即b_n=2ⁿ，
令c_n=a_nb_n．
则c_n=（3n-2）•2ⁿ．
所以T_n=1×2¹+4•2²+7•2³+…+（3n-2）•2ⁿ，①
2T_n=1×2²+4×2³+7•2⁴+…+（3n-2）•2ⁿ⁺¹，②
由②-①得：-T_n=2+3•2²+3•2³+…+（3n-5）•2ⁿ⁺¹=3×（2+2²+…+2ⁿ）-（3n-2）•2ⁿ⁺¹-2
=-（3n-5）•2ⁿ⁺¹-10，
所以T_n=10+（3n-5）2ⁿ⁺¹
故答案是：10+（3n-5）2ⁿ⁺¹．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，数列求和等基础知识，考查计算能力、推理论证能力、综合发现问题解决问题的能力．