Question

5．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₃=9，a₂a₄=21，数列{b_n}满足$\frac{b_1}{a_1}+\frac{b_2}{a_2}+…+\frac{b_n}{a_n}=1-\frac{1}{2^n}（{n∈{N^*}}）$，若${b_n}＜\frac{1}{10}$，则n的最小值为（　　）

• A． 6
• B． 7
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 设等差数列{a_n}的公差为d，由S₃=9，a₂a₄=21，可得3a₁+$\frac{3×2}{2}$d=9，（a₁+d）（a₁+3d）=21，可得a_n．由数列{b_n}满足$\frac{b_1}{a_1}+\frac{b_2}{a_2}+…+\frac{b_n}{a_n}=1-\frac{1}{2^n}（{n∈{N^*}}）$，利用递推关系可得：$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$．对n取值即可得出．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，
∵S₃=9，a₂a₄=21，∴3a₁+$\frac{3×2}{2}$d=9，（a₁+d）（a₁+3d）=21，
联立解得：a₁=1，d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∵数列{b_n}满足$\frac{b_1}{a_1}+\frac{b_2}{a_2}+…+\frac{b_n}{a_n}=1-\frac{1}{2^n}（{n∈{N^*}}）$，
∴n=1时，$\frac{{b}_{1}}{1}$=1-$\frac{1}{2}$，解得b₁=$\frac{1}{2}$．
n≥2时，$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}+\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{{b}_{n-1}}{{a}_{n-1}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$．
∴b_n=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$．
若${b_n}＜\frac{1}{10}$，则$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$＜$\frac{1}{10}$．
n=7时，$\frac{13}{128}$＞$\frac{1}{10}$．
n=8时，$\frac{15}{256}$＜$\frac{1}{10}$．
因此：${b_n}＜\frac{1}{10}$，则n的最小值为8．
故选：C．

点评 本题考查了等差数列通项公式与求和公式、数列递推关系及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．