Question

20．设函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-x+m$的极大值为1，则函数f（x）的极小值为（　　）

• A． $-\frac{1}{3}$
• B． -1
• C． $\frac{1}{3}$
• D． 1

Answer 1

分析 求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．

解答 解：∵$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-x+m$，
∴f′（x）=x²-1，
令f′（x）=x²-1=0，解得x=±1，
当x＞1或x＜-1时，f′（x）＞0，
当-1＜x＜1时，f′（x）＜0；
故f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上是增函数，在（-1，1）上是减函数；
故f（x）在x=-1处有极大值f（-1）=-$\frac{1}{3}$+1+m=1，解得m=$\frac{1}{3}$
f（x）在x=1处有极小值f（1）=$\frac{1}{3}$-1+$\frac{1}{3}$=-$\frac{1}{3}$，
故选：A．

点评 本题考查函数的极值问题，属基础知识的考查．熟练掌握导数法求极值的方法步骤是解答的关键．