Question

12．已知集合A=$\left\{{x|1＜{2^x}≤16}\right\}，B=\left\{{y|y=\sqrt{x}，x∈A}\right\}$．
（1）求A∩B；
（2）若f（x）=log₂x-$\frac{1}{x}$，x∈A∩B求函数f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）运用指数函数单调性化简集合A，由幂函数单调性求得B，再由交集定义可得；
（2）求得f（x）的导数，判断单调性，即可得到f（2）为最大值．

解答 解：（1）∵1＜2^x≤16，∴2⁰＜2^x≤2⁴，即0＜x≤4，
∴A={x|0＜x≤4}，
∵x∈（0，4]，∴$y=\sqrt{x}∈（{0，2}]，B=\left\{{x|0＜x≤2}\right\}$．
∴A∩B=（0，2]；
（2）f（x）=log₂x-$\frac{1}{x}$的导数为f′（x）=$\frac{1}{xln2}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
f′（x）在（0，2]大于0，可得f（x）在（0，2]递增，
f（2）取得最大值log₂2-$\frac{1}{2}$=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查集合的交集和函数的最值的求法，注意运用指数函数和对数函数的单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．