Question

7．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若方程f（x+1）=|x²+2x-3|的实根分别为x₁，x₂，…，x_n，则x₁+x₂+…+x_n=（　　）

• A． n
• B． -n
• C． -2n
• D． -3n

Answer 1

分析 由题意，f（x+1）=|x²+2x-3|的对称轴为x=-1，方程f（x+1）=|x²+2x-3|的实根分别为x₁，x₂，…，x_n，一个零点x₁关于对称轴的对称点是x₂，满足x₁+x₂=-2，即可得出结论．

解答 解：由题意，n是偶数，y=f（x+1），y=|x²+2x-3|的对称轴均为x=-1，
∵方程f（x+1）=|x²+2x-3|的实根分别为x₁，x₂，…，x_n，
∴一个实根x₁关于对称轴的对称点是x₂，满足x₁+x₂=-2，
∴x₁+x₂+…+x_n=-2•$\frac{n}{2}$=-n．
当n为奇数时，x=-1为一个实根，同样有x₁+x₂+…+x_n=-1+（-2）•$\frac{n-1}{2}$=-n．
故选B．

点评 本题考查函数的奇偶性，函数的零点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．