Question

16．在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G为AD中点，F是CE的中点．
（1）证明：BF∥平面ACD；
（2）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小；
（3）求点G到平面BCE的距离．

Answer 1

分析 （1）建立空间坐标系，求出直线BF的方向向量和平面ACD的法向量，根据两个向量垂直可得线面平行；
（2）分别求出平面BCD与平面ACD的法向量，代入向量夹角公式，求出两个向量夹角的余弦值，进而可得二面角的大小
（3）求出BG的方向向量的坐标，进而根据公式可得点G到平面BCE的距离．

解答 （1）证明：以D点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
使得x轴和z轴的正半轴分别经过点A和点E，则各点的坐标为D（0，0，0），B（2，0，1），E（0，0，2），C（1，$\sqrt{3}$，0），F（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1），
∴$\overrightarrow{BF}$=（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0）
又∵$\overrightarrow{DE}$=（0，0，2）为平面ACD的一个法向量
且$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{DE}$=0
∴BF∥平面ACD；       …（4分）
（2）解：设平面BCE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{CB}$，且$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{CE}$，
由$\overrightarrow{CB}$=（1，$\sqrt{3}$，1），$\overrightarrow{CE}$=（-1，$\sqrt{3}$，2）得$\left\{\begin{array}{l}{x-\sqrt{3}y+z=0}\\{-x-\sqrt{3}y+2z=0}\end{array}\right.$，
不妨设y=$\sqrt{3}$，则$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，2）
又∵$\overrightarrow{DE}$=（0，0，2）为平面ACD的一个法向量
∴所求角θ满足cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小为$\frac{π}{4}$；       …（8分）
（3）解：由已知G点坐标为（1，0，0），
∴$\overrightarrow{BG}$=（-1，0，-1），
由（2）平面BCE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，2）
∴所求距离d=|$\frac{-1-2}{\sqrt{1+3+4}}$|=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．                        …（12分）

点评 本题考查的知识点是二面角的平面角，棱锥的体积，直线与平面平行的判定，建立空间坐标系将空间线面关系转化为向量关系，是常用的解题方法，要求熟练掌握．