Question

13．已知函数f（x）=-x²+ax+b，且f（4）=-3．
（1）若函数f（x）在区间[2，+∞）上递减，求实数b的取值范围；
（2）若函数f（x）的图象关于直线x=1对称，且关于x的方程f（x）=log₂m在区间[-3，3]上有解，求m的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用函数值以及对称轴与单调区间的关系，列出不等式求解即可．
（2）利用对称轴以及函数值，求出a，b，利用二次函数的闭区间上的最值，求解即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）在区间[2，+∞）上递减，∴$\frac{a}{2}≤2$，解得a≤4，
又f（4）=-3，∴b=-4a+13，
∵a≤4，∴b≥-3．
（2）∵$\left\{\begin{array}{l}\frac{a}{2}=1\\-16+4a+b=-3\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=5.\end{array}\right.$
∴f（x）=-x²+2x+5=-（x-1）²+6，x∈[-3，3]，
∴f（x）_min=f（-3）=-10，f（x）_max=f（1）=6，
∴f（x）在[-3，3]上的值域为[-10，6]，
∴log₂m∈[-10，6]，即m∈[2^-10，2⁶]，
∴m的最大值为2⁶=64．

点评 本题考查二次函数的简单性质的应用，对称轴与单调区间的关系，考查转化思想以及计算能力．