Question

11．数列{a_n}中，S_n是{a_n}的前n项和且S_n=2n-a_n，
（1）求a₁，a_n；
（2）若数列{b_n}中，b_n=n（2-n）（a_n-2），且对任意正整数n，都有${b_n}+t≤2{t^2}$，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用数列的单调性即可得出．

解答 解：（1）设n=1时，a₁=1，
由已知S_n=2n-a_n…①，得S_n+1=2n+2-a_n+1…②
②式减①式得${a_{n+1}}=\frac{{{a_n}+2}}{2}$，
∴${a_{n+1}}-2=\frac{1}{2}（{{a_n}-2}）$，
∴{a_n-2}是-1为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列．
∴a_n-2=-$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，${a_n}=2-{（{\frac{1}{2}}）^{n-1}}$．
（2）${b_n}=\frac{{n（{n-2}）}}{{{2^{n-1}}}}，{b_{n+1}}-{b_n}=\frac{{-{n^2}+4n-1}}{2^n}$，
n≤3时，b_n+1-b_n＞0，n≥4时，b_n+1-b_n＜0，（b_n）_max=b₄=1．
∴1+t≤2t²，2t²-t-1≥0；
t≥1或$t≤-\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列与等比数列的通项公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．