Question

设等差数列{a_n}的各项均为整数，其公差d≠0，a₅=6．
（Ⅰ）若a₂•a₁₀＞0，求d的值；
（Ⅱ）若a₃=2，且a3，a5，an1，an2，…，ant，…（5＜n₁＜n₂＜…＜n_t＜…）成等比数列，求n_t；
（Ⅲ）若a3，a5，an1，an2，…，ant，…（5＜n₁＜n₂＜…＜n_t＜…）成等比数列，求n₁的取值集合．

Answer 1

分析：（I）要求d，则用“a₅，d”表示a₂•a₁₀＞0，再由各项均为整数从而求得d；
（II）因为a3，a5，an1，an2，…，ant，…成等比数列且知道首项，故先求出公比，再用通项公式求解；
（III）与（II）思路相同，区别在于过程中用a₃表示．

解答：（Ⅰ）解：因为等差数列{a_n}的各项均为整数，所以d∈Z．（1分）
由a₂•a₁₀＞0，得（a₅-3d）（a₅+5d）＞0，即（3d-6）（5d+6）＜0，解得-

6

5

＜d＜2．
注意到d∈Z，且d≠0，所以d=-1，或d=1．（3分）
（Ⅱ）解：由a₃=2，a₅=6，得d=

a5-a3

5-3

=2，
从而a_n=a₃+（n-3）d=2+（n-3）×2=2n-4，故ant=2nt-4．（5分）
由a3，a5，an1，an2，，ant，成等比数列，得此等比数列的公比为

a5

a3

=3，
从而ant=a3•3t+1=2•3t+1.
由2n_t-4=2•3^t+1，解得n_t=3^t+1+2，t=1，2，3，．（7分）
（Ⅲ）解：由d=

a5-a3

5-3

=

6-a3

2

，得an1=a3+(n1-3)d=a3+

(n1-3)(6-a3)

2

．
由a3，a5，an1，an2，，ant，成等比数列，得an1=

a 2 5

a3

=

36

a3

．
由a3+

(n1-3)(6-a3)

2

=

36

a3

，化简整理得n1=5+

12

a3

.（9分）
因为n₁＞5，从而a₃＞0，
又n₁∈Z且d≠0，从而a₃是12的非6的正约数，故a₃=1，2，3，4，12．（10分）
①当a₃=1或a₃=3时，a4=

a3+a5

2

∉Z，
这与{a_n}的各项均为整数相矛盾，所以，a₃≠1且a₃≠3．（11分）
②当a₃=4时，由

a

2 5

=a3•an1?an1=9，
但此时an2=

a 2 n1

a5

∉Z，这与{a_n}的各项均为整数相矛盾，所以，a₃≠4．（12分）
③当a₃=12时，同理可检验a_n2∉Z，所以，a₃≠12．（13分）
当a₃=2时，由（Ⅱ）知符合题意．
综上，n₁的取值只能是n₁=11，即n₁的取值集合是{11}．（14分）

点评：本题主要考查等差、等比数列的概念以及分类讨论的思想．