Question

设函数y=f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x-2010）的图象关于点（2010，0）对称．若实数x，y满足不等式f（x²-6x）+f（y²-8y+24）≤0，则x²+y²的最大值是

 

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Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：首先依题意判断函数的奇偶性．然后根据单调性及f（x²-6x）+f（y²-8y+24）≤0，得出新的关系式x²-6x≤-y²+8y-24，转换成圆的方程，把不等式转换成点到原点的距离．得出答案．

解答： 解：因为函数y=f（x-2010）的图象关于点（2010，0）对称，
所以函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，
即函数y=f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x），
则不等式f（x²-6x）+f（y²-8y+24）≤0可化为：f（x²-6x）≤-f（y²-8y+24）=f（-y²+8y-24）
又由函数y=f（x）是定义在R上的增函数，
所以x²-6x≤-y²+8y-24，即x²-6x+y²-8y+24≤0，
所以（x-3）²+（y-4）²≤1，
则（x，y）点在以（3，4）为圆心，以1为半径的圆内，
而x²+y²表示的是圆内任一点到原点距离的平方，
所以（5-1）²=16≤x²+y²≤（5+1）²=36，
故x²+y²的最大值是事36，
故答案为：36．

点评：本题考查函数奇偶性的图象的特征，代数式的几何意义的转化，此题巧妙地将函数的性质与圆的方程融合在一起进行考查，题目有一定的思维含量但计算量不大，考查了学生思维能力与运算能力以及灵活运用所学数学知识处理相关问题的能力．