Question

15．已知函数f（x）=|x+3|-|x+a|是R上的奇函数．
（1）求实数a的值； 
（2）画出函数f（x）的图象；  
（3）写出函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据函数为奇函数，得到f（0）=0，得a=-3，
（2）化为分段函数，画图即可，
（3）由图象可得得到答案．

解答 解：（1）∵f（x）=|x+3|-|x+a|是R上的奇函数．
∴f（0）=0，得a=-3，
当a=-3时，f（x）=|x+3|-|x-3|，
f（-x）=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f（x），满足题意
∴a=-3，
（2）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-6，x＜-3\\ 2x，-3≤x＜3\\ 6，x≥3\end{array}\right.$，如图所示．
（3）由图象可知f（x）的值域是[-6，6]．

点评 本题考查了函数的奇偶性，函数图象的画法，以及函数的值域，属于基础题．